ოქროს თანაფარდობა არის პროპორცია, რომელიც უხსოვარი დროიდან ყველაზე სრულყოფილ და ჰარმონიულად ითვლება. ეს ქმნის მრავალი უძველესი სტრუქტურის საფუძველს, ქანდაკებებიდან ტაძრამდე და ბუნებაში ძალიან გავრცელებულია. ამავე დროს, ეს პროპორცია გამოხატულია საოცრად ელეგანტურ მათემატიკურ კონსტრუქციებში.
ინსტრუქციები
Ნაბიჯი 1
ოქროს პროპორცია განისაზღვრება შემდეგნაირად: ეს არის სეგმენტის ორ ნაწილად დაყოფა, რომ მცირე ნაწილი უფრო დიდს ეხება ისევე, როგორც უფრო დიდი ნაწილი მთელ სეგმენტს.
ნაბიჯი 2
თუ მთლიანი სეგმენტის სიგრძე მიიღება 1-ით, ხოლო უფრო დიდი ნაწილის სიგრძე x-ით, მაშინ ძებნილი პროპორცია გამოიხატება განტოლებით:
(1 - x) / x = x / 1.
პროპორციის ორივე მხარის გამრავლება x– ზე და ტერმინების გადატანა, მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
ნაბიჯი 3
განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი, რომელთაგან ბუნებრივად მხოლოდ პოზიტივი გვაინტერესებს. იგი ტოლია (√5 - 1) / 2, რაც დაახლოებით უდრის 0, 618-ს. ეს რიცხვი გამოხატავს ოქროს კოეფიციენტს. მათემატიკაში იგი ყველაზე ხშირად აღინიშნება φ ასოით.
ნაბიჯი 4
Φ – ს აქვს არაერთი შესანიშნავი მათემატიკური თვისება. მაგალითად, თუნდაც საწყისი განტოლებიდან ჩანს, რომ 1 / φ = φ + 1. მართლაც, 1 / (0, 618) = 1, 618.
ნაბიჯი 5
ოქროს თანაფარდობის გამოთვლის კიდევ ერთი გზაა უსასრულო წილადის გამოყენება. ნებისმიერი თვითნებური x – დან დაწყებული, შეგიძლიათ თანმიმდევრულად შექმნათ ფრაქცია:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
და ა.შ.
ნაბიჯი 6
გამოთვლების გასამარტივებლად, ეს ფრაქცია შეიძლება წარმოდგენილ იქნას როგორც განმეორებითი პროცედურა, რომელშიც შემდეგი ეტაპის გამოსათვლელად უნდა დაამატოთ ერთი წინა ნაბიჯის შედეგს და გაყოთ მიღებული რიცხვი. Სხვა სიტყვებით:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
ეს პროცესი კონვერგდება და მისი ზღვარია φ + 1.
ნაბიჯი 7
თუ საპასუხო გაანგარიშებას შევცვლით კვადრატული ფესვის მოპოვებით, ანუ განმეორებით მარყუჟს ვატარებთ:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), მაშინ შედეგი უცვლელი დარჩება: თავდაპირველად არჩეული x-ს მიუხედავად, განმეორებები გადადიან მნიშვნელობას φ + 1-ზე.
ნაბიჯი 8
გეომეტრიულად, ოქროს კოეფიციენტის აგება შესაძლებელია ჩვეულებრივი პენტაგონის გამოყენებით. თუ მასში ორი გადაკვეთის დიაგონალს დავხატავთ, მაშინ თითოეული მათგანი მეორეს მკაცრად დაყოფს ოქროს თანაფარდობით. ლეგენდის თანახმად, ეს დაკვირვება ეკუთვნის პითაგორას, რომელიც იმდენად შეძრწუნებული აღმოჩნდა, რომ მან სწორად ხუთქიმიანი ვარსკვლავი (პენტაგრამა) წმინდა ღვთიურ სიმბოლოდ მიიჩნია.
ნაბიჯი 9
მიზეზები, თუ რატომ არის ოქროს თანაფარდობა, ყველაზე მეტად ჰარმონიულად ეჩვენება ადამიანს. ამასთან, ექსპერიმენტებმა არაერთხელ დაადასტურა, რომ სუბიექტები, რომლებსაც დაავალეს სეგმენტის დაყოფა ორ უთანასწორო ნაწილად, ყველაზე ლამაზად გააკეთეს ოქროს პროპორციის ძალიან ახლო პროპორციებით.
